[로봇 하드웨어 03] - 유성기어 감속기

유성기어 감속기(Planetary Gearbox)는 보행 로봇의 QDD 액추에이터부터 산업용 서보 감속기까지 가장 넓은 범위에서 쓰이는 감속기입니다. 강체 기어만으로 구성되어 하모닉 드라이브처럼 얇은 탄성 부품이 없고, 한 단의 감속비가 낮아 역구동이 쉽습니다. 대신 강체 기어가 맞물리려면 치면 사이에 틈이 필요하고, 맞물리는 이의 수가 회전하면서 계속 바뀝니다.

이 글에서는 유성기어의 구조와 감속비를 정리한 뒤, 이 구조가 관절에 남기는 오차를 살펴봅니다. 감속기 일반의 비용은 상위 글에서 다뤘습니다.

구조와 감속비

유성기어 구조 [1]

유성기어는 네 요소로 구성됩니다.

태양 기어(Sun Gear): 중심에 있는 외치 기어로, 보통 입력입니다.
유성 기어(Planet Gear): 태양 기어와 링 기어 사이에서 맞물리며 도는 여러 개의 기어입니다.
링 기어(Ring Gear): 바깥을 감싸는 내치 기어로, 보통 하우징에 고정됩니다.
캐리어(Carrier): 유성 기어의 축을 잡아 주는 요소로, 보통 출력입니다.

링 기어를 고정하고 태양 기어를 입력, 캐리어를 출력으로 쓰면 감속비는 다음과 같습니다.

N = \frac{\omega_{sun}}{\omega_{carrier}} = 1 + \frac{Z_r}{Z_s}

$Z_r$ 과 $Z_s$ 는 각각 링 기어와 태양 기어의 잇수입니다. $Z_s=20$ , $Z_r=80$ 이면 $N=5$ 이고, 출력은 입력과 같은 방향으로 돕니다. 세 기어가 같은 모듈로 맞물리려면 $Z_r = Z_s + 2Z_p$ 를 만족해야 하고( $Z_p$ 는 유성 기어 잇수), 유성 기어를 같은 간격으로 배치하려면 $(Z_s + Z_r)$ 이 유성 기어 수로 나누어떨어져야 합니다.

고정 요소에 따른 유성기어의 회전 비교 [1]

작은 단일 단 감속비

감속비를 키우려면 태양 기어를 작게 하거나 링 기어를 크게 해야 합니다. 태양 기어가 너무 작아지면 이뿌리가 약해지고 입력축을 넣을 공간이 없어지며, 링 기어를 키우면 감속기 지름이 커집니다. 그래서 한 단의 감속비는 대략 3:1에서 10:1 사이입니다. 더 큰 감속비가 필요하면 여러 단을 직렬로 쌓습니다.

이 제약은 그대로 장점이 되기도 합니다. 상위 글에서 본 것처럼 reflected inertia는 $N^2$ , 모터 측 마찰은 $N$ 에 비례하므로, 한 단의 낮은 감속비에서는 두 비용이 작습니다. MIT Mini Cheetah의 액추에이터는 외전형 모터에 6:1 단일 단 유성기어를 결합해 역구동이 가능한 관절을 만들었습니다 2. 이 구성은 QDD 글에서 자세히 다룹니다.

여러 유성 기어의 하중 분담

유성 기어가 $n$ 개이면 이상적으로는 각 기어가 전체 토크의 $1/n$ 을 전달합니다. 같은 크기의 단일 기어 쌍보다 치면 하중이 작아서 작은 부피로 큰 토크를 전달할 수 있고, 충격 하중도 여러 치면으로 나뉩니다. 다만 이 분담은 이상적인 경우이며, 아래에서 보듯 실제로는 균등하지 않습니다.

오차 1: 백래시

강체 기어가 끼이지 않고 맞물리려면 치면 사이에 틈이 필요합니다. 가공 오차, 축과 베어링의 편심, 열팽창과 윤활막을 고려하면 이 틈을 0으로 만들 수 없습니다. 유성기어에는 태양–유성, 유성–링 두 종류의 치합이 있고, 각 치합의 틈과 캐리어 베어링의 유격이 합쳐져 출력축의 백래시가 됩니다.

여러 단을 쌓으면 백래시가 누적되지만, 모든 단이 같은 비중으로 더해지지는 않습니다. 앞단의 유격은 출력축에서 보면 뒷단의 감속비로 나뉘어 나타납니다. 2단 감속기의 출력 백래시는 대략 다음과 같습니다.

b_{out} \approx b_2 + \frac{b_1}{N_2}

$b_1$ , $b_2$ 는 각 단의 백래시를 해당 단의 출력축 기준 각도로 나타낸 값이고, $N_2$ 는 2단의 감속비입니다. 그래서 출력 백래시는 대개 마지막 단이 지배하며, 정밀 감속기는 마지막 단의 유격을 줄이는 데 공을 들입니다.

백래시는 토크 방향이 바뀌는 순간 모터와 출력축을 분리합니다. 보행 로봇의 다리가 스윙에서 착지로 넘어가거나, 중력 토크의 부호가 바뀌는 자세를 지날 때가 그 예입니다. 이때 생기는 상태 불일치와 외력 추정 문제는 백래시를 다루는 글에서 자세히 다룹니다.

오차 2: 치합 주기마다 바뀌는 강성

평기어(Spur Gear)는 회전하는 동안 동시에 맞물리는 이의 쌍이 한 쌍과 두 쌍 사이를 오갑니다. 두 쌍이 맞물릴 때는 하중을 나누어 강성이 높고, 한 쌍만 맞물릴 때는 강성이 낮습니다. 그래서 유성기어의 비틀림 강성은 상수가 아니라 치합 주기마다 반복해서 변합니다.

링 기어를 고정한 구성에서 치합 주파수는 링 기어 잇수와 캐리어 회전 속도의 곱입니다.

f_{mesh} = Z_r \cdot \frac{\omega_{carrier}}{2\pi}

이 주파수의 강성 변동은 하중이 일정해도 주기적인 전달 오차와 진동을 만듭니다. 여기에 각 기어의 편심과 치형 오차가 더해지면 캐리어 회전 주파수와 유성 기어 자전 주파수에도 성분이 생깁니다. 데이터에서는 관절 속도에 비례하는 주파수의 토크 리플과 소음으로 나타납니다.

헬리컬 기어(Helical Gear)는 이를 비스듬히 깎아 여러 쌍의 이가 점진적으로 맞물리게 합니다. 동시에 맞물리는 이의 수가 늘어나 강성 변동과 소음이 줄어듭니다. 대신 이의 경사 때문에 축 방향 하중이 생겨 이를 지지할 베어링이 필요하고, 축 방향 하중을 상쇄하는 이중 헬리컬 구조는 가공이 어렵습니다.

오차 3: 유성 기어 사이의 하중 불균일

가공 오차와 조립 오차 때문에 유성 기어들은 하중을 정확히 $1/n$ 씩 나누지 않습니다. 위치 오차가 있는 유성 기어가 먼저 닿아 더 큰 하중을 받고, 나머지는 하중이 커져 탄성 변형이 생긴 뒤에야 하중을 분담합니다. 그 결과 저토크 구간에서는 일부 기어만 하중을 전달하므로 강성이 낮고, 토크가 커질수록 분담하는 기어가 늘어 강성이 높아집니다.

이 불균일은 피로 수명과 충격 한계도 낮춥니다. 정격 토크는 균등 분담을 가정한 값보다 보수적으로 정해지고, 일부 설계는 태양 기어를 반경 방향으로 떠 있게 해 스스로 하중을 고르게 하도록 만듭니다.

효율과 역구동성

강체 기어의 치합은 대부분 구름에 가까운 운동이어서 한 단의 효율이 높은 편입니다. 단을 쌓을수록 손실이 곱해지고, 앞단의 마찰은 뒷단 감속비만큼 증폭되어 출력축에 나타납니다. 그래서 같은 유성기어 구조라도 1단 6:1은 손으로 쉽게 역구동되지만, 3단 100:1은 역구동이 훨씬 어렵습니다. 역구동성은 기어의 종류보다 단 수와 전체 감속비에 더 크게 좌우됩니다.

모델에 남길 항목

유성기어의 특성	단순 모델에서 빠지는 부분	다루는 방법
백래시(마지막 단이 지배)	$q=\theta_m/N$	출력축 엔코더, 방향 전환 구간의 상태 불일치 모델링
치합 주기의 강성 변동	강체 관절	관절 속도에 비례하는 주기적 외란으로 측정, 공진과 겹치는 속도 확인
하중 불균일	균등 분담	저토크 구간의 낮은 강성, 정격의 여유 확인
단 수에 따른 마찰	효율 하나	단 수와 전체 감속비를 기준으로 역구동 토크를 측정

다음 포스트: [로봇 하드웨어 03] - 사이클로이드 감속기

References

[1] tec-science, “Epicyclic (planetary) gear.” Source

[2] B. G. Katz, “A Low Cost Modular Actuator for Dynamic Robots,” M.S. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 2018. Source