[로봇 하드웨어 08] - 케이블 구동 메커니즘 (1): 케이블과 Capstan Drive

케이블 전달계가 termination, 장력 방향, capstan 권선과 pretension을 만나 복잡한 공간 메커니즘이 되는 과정

KR

앞선 글에서는 모터와 감속기를 관절 근처에 배치한 액추에이터를 살펴보았습니다. 이러한 구조는 모듈화하기 쉽고 짧은 하중 경로를 만들 수 있지만, 모터와 감속기의 질량이 링크에 직접 실립니다.

반대로 모터를 몸통이나 proximal link 쪽으로 옮기고, 가벼운 전달 요소만 관절까지 연결할 수도 있습니다. 대표적인 방법이 케이블 구동 메커니즘(cable-driven mechanism)입니다.

케이블은 가볍고 유연하며 작은 단면으로 먼 거리까지 힘을 전달할 수 있습니다. 적절히 설계된 케이블–풀리 전달계는 기어 치면에 의한 전통적인 백래시가 거의 없고, 내부 마찰과 전달계 질량을 낮춰 높은 torque transparency를 얻을 수 있습니다.

황보제민 등이 개발한 Capler-Leg는 고토크 밀도 모터와 single-stage cable–pulley transmission을 결합했습니다. 연구진은 이 시스템의 특징으로 낮은 관성, 높은 토크 투명성, 낮은 부품 수와 백래시가 없는 구조를 제시했습니다. 시험 장치에서는 평균 정상상태 토크 오차가 0.4% 미만이었고, 약 12 Nm에서 30 Hz까지 비교적 정확한 토크 추종을 보였습니다. 다만 최대 토크에서는 케이블 탄성 때문에 약 $2^\circ$의 출력각 변형도 측정되었습니다.

즉 케이블 전달계는 매우 투명할 수 있지만, 완전히 늘어나지 않는 강체 transmission은 아닙니다.

이론적으로 케이블은 감속과 원격 동력 전달을 동시에 수행할 수 있습니다. 그러나 실제 케이블에는 끝단이 있고, 케이블은 당기기만 하며, 장력은 특정 방향으로 풀리와 프레임을 끌어당깁니다. 여러 번 감긴 케이블은 풀리의 축 방향으로도 이동해야 합니다.

케이블 구동계의 진짜 설계 문제는 케이블로 힘을 전달할 수 있는지가 아닙니다.

케이블의 장력과 권선 경로를 전체 운동 범위에서 어떻게 구속하고, 그 반력을 어디에서 닫을 것인가가 핵심입니다.

벨트와 케이블은 무엇이 다른가

벨트와 케이블은 모두 기본적으로 인장력을 이용해 동력을 전달합니다. 따라서 “벨트는 밀 수 있지만 케이블은 당기기만 한다”는 식으로 구분할 수는 없습니다. 벨트 역시 압축력을 전달하지 않으며, 풀리 사이에서 장력을 유지해야 합니다.

차이는 주로 형상과 구속 방식에 있습니다.

Timing belt

Timing belt는 일정한 폭과 치형을 가지며, 풀리의 치형과 맞물려 운동을 전달합니다.

• 일반적으로 endless loop로 구성됩니다.
• 풀리 치형이 운동비와 벨트의 원주 방향 위치를 구속합니다.
• 치형이 맞물리므로 전달 토크가 표면 마찰에만 의존하지 않습니다.
• 벨트 폭과 최소 pulley diameter 때문에 일정한 설치 공간이 필요합니다.
• 적절한 장력과 정렬이 유지되면 연속 회전에 적합합니다.

Cable

케이블은 치형이 없는 가는 인장 부재입니다.

• 작은 단면으로 좁은 공간과 복잡한 경로를 통과할 수 있습니다.
• guide pulley를 이용해 힘의 방향을 여러 번 바꿀 수 있습니다.
• 하나의 관절 주변에 여러 개의 케이블을 밀집해 배치할 수 있습니다.
• open-ended cable이라면 양끝을 구조물이나 풀리에 고정해야 합니다.
• groove, 마찰, termination과 pretension이 케이블의 위치를 유지합니다.
• 풀리 위에서 케이블이 겹치거나 이탈하지 않도록 권선 경로를 설계해야 합니다.

Timing belt에서는 벨트와 풀리의 치형이 운동학을 상당 부분 정의합니다. 반면 cable drive에서는 풀리 반경뿐 아니라 케이블의 termination, 장력, 감김 수와 축 방향 위치까지 메커니즘의 일부가 됩니다.

벨트가 넓은 면으로 풀리에 놓이는 비교적 정형화된 transmission이라면, 케이블은 경로를 자유롭게 설계할 수 있는 대신 그 경로 자체를 설계자가 모두 구속해야 하는 transmission에 가깝습니다.

이론적으로는 감속과 원격 전달을 동시에 할 수 있습니다

케이블이 늘어나지 않고 풀리에서 미끄러지지 않는 이상적인 상황을 생각해 보겠습니다.

입력 드럼의 반경을 $r_m$, 출력 풀리의 반경을 $r_j$라고 하면 양쪽에서 감기고 풀리는 케이블 길이는 같아야 합니다.

\[r_m\theta_m=r_j\theta_j\]

따라서 입력과 출력 사이의 감속비는 다음과 같습니다.

\[N=\frac{\theta_m}{\theta_j}=\frac{r_j}{r_m}\]

입력 드럼을 작게 하고 출력 풀리를 크게 만들면 케이블만으로 회전 속도를 낮추고 출력 토크를 증가시킬 수 있습니다.

두 케이블 구간의 장력을 $T_1$과 $T_2$라고 하면 입력과 출력의 토크는 장력 차이에 의해 생성됩니다.

\[\tau_m=r_m(T_1-T_2)\] \[\tau_j=r_j(T_1-T_2)\]

이상적인 조건에서는 다음 관계를 얻습니다.

\[\frac{\tau_j}{\tau_m}=\frac{r_j}{r_m}=N\]

또한 입력 드럼과 출력 풀리 사이의 거리가 멀어져도 케이블 길이와 장력이 유지된다면 같은 운동비를 사용할 수 있습니다.

따라서 이론적으로 cable drive는 두 기능을 동시에 수행할 수 있습니다.

1. 서로 다른 풀리 반경을 이용한 감속
2. 모터와 출력 관절을 분리하는 remote power transmission

모터를 몸통이나 상위 링크에 배치하고 출력 풀리만 관절에 놓으면 distal link에 실리는 모터 질량과 링크 관성을 줄일 수 있습니다.

수식만 보면 매우 매력적입니다. 입력과 출력 사이에 가벼운 케이블만 연결하면 감속기와 원격 전달계를 동시에 얻을 수 있는 것처럼 보입니다.

하지만 이 설명에는 케이블이 만드는 힘의 방향이 빠져 있습니다.

케이블은 토크뿐 아니라 반력도 멀리 전달합니다

케이블은 자신의 길이 방향으로만 장력을 전달합니다. 따라서 케이블이 토크를 전달할 때 풀리와 베어링에는 반드시 장력의 반력이 작용합니다.

풀리에 연결된 케이블 구간의 장력을 $T_i$, 각 케이블이 풀리를 당기는 단위 방향 벡터를 $\hat{\mathbf t}_i$라고 하면 풀리 축에 가해지는 합력은 다음과 같습니다.

\[\mathbf F_{\mathrm{shaft}}=\sum_i T_i\hat{\mathbf t}_i\]

반면 출력 토크는 케이블 장력과 접선 방향 moment arm으로 결정됩니다.

\[\boldsymbol{\tau}=\sum_i\mathbf r_i\times T_i\hat{\mathbf t}_i\]

대칭적인 두 케이블이 같은 반경 $r$에서 반대 방향 토크를 만든다면 다음과 같이 단순화할 수 있습니다.

\[\tau=r(T_R-T_L)\]

중요한 점은 토크는 장력의 차이로 만들어지지만, 축과 프레임의 하중은 장력 벡터의 합으로 만들어진다는 것입니다.

공통 pretension을 풀리 근처에서 상쇄하는 배치와, 두 케이블 장력이 입력 드럼과 출력 풀리를 서로 끌어당기는 배치의 개념도입니다. 전달 토크는 장력 차이에 의해 결정되지만 축과 프레임의 하중은 장력 벡터의 합에 의해 결정됩니다.

장력 방향을 반대로 배치하면 공통 하중을 상쇄할 수 있습니다

그림 왼쪽처럼 두 케이블이 구동 풀리에서 서로 반대 방향으로 빠져나간다고 해보겠습니다.

이상적인 대칭 구조에서는 다음 관계가 성립합니다.

\[\hat{\mathbf t}_R=-\hat{\mathbf t}_L\]

따라서 축에 가해지는 합력은 다음과 같이 단순화됩니다.

\[\mathbf F_{\mathrm{shaft}}=(T_R-T_L)\hat{\mathbf t}_R\]

두 케이블에 같은 pretension이 걸려 있다면,

\[T_R=T_L=T_0\]

공통 pretension에 의한 합력은 이상적으로 상쇄됩니다.

\[\mathbf F_{\mathrm{shaft}}\approx0\]

토크를 만들기 위해 한쪽 장력을 높이고 반대쪽 장력을 낮추면 잔여 횡하중이 발생하지만, 그 크기는 두 장력의 합이 아니라 차이에 가까워집니다.

Capler-Leg의 cable–pulley transmission도 antagonistic cable pair가 풀리에 만드는 순힘을 줄이도록 설계되었습니다. 연구진은 두 케이블이 풀리에 거의 순모멘트를 만들지 않도록 두 풀리를 가깝게 배치했고, 공통 장력에 의한 베어링 하중을 줄인 것이 낮은 마찰의 중요한 이유라고 설명했습니다.

다만 케이블을 두 개 사용한다고 힘이 자동으로 상쇄되는 것은 아닙니다.

• 두 케이블의 접선 방향이 정확히 반대여야 합니다.
• 양쪽 pretension이 비슷해야 합니다.
• 두 케이블의 유효 반경이 같아야 합니다.
• 케이블이 같은 평면에 있어야 합니다.
• 구조 변형과 fleet angle이 작아야 합니다.

힘의 상쇄는 케이블의 고유한 성질이 아니라, 의도적으로 만든 기하학적 결과입니다.

두 케이블이 같은 방향 성분을 가지면 내부 장력이 더해집니다

그림 오른쪽처럼 작은 입력 드럼과 큰 출력 풀리를 멀리 떨어뜨리고, 두 케이블 구간이 모두 상대 풀리를 향하도록 배치하면 상황이 달라집니다.

두 케이블의 방향 벡터에는 입력과 출력을 서로 끌어당기는 공통 성분이 존재합니다. 좌우 케이블이 중심선과 이루는 각을 $\beta$라고 단순화하면 두 풀리를 서로 당기는 방향의 힘은 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

\[F_{\mathrm{pull}} \approx (T_L+T_R)\cos\beta\]

공통 pretension을 $T_0$라고 하고 출력 토크가 0이라면,

\[T_L=T_R=T_0\]

이므로

\[F_{\mathrm{pull}} \approx 2T_0\cos\beta\]

가 됩니다.

관절 토크가 0이어도 두 풀리는 큰 힘으로 서로를 끌어당깁니다. 이 힘은 입력 드럼과 출력 풀리의 축, 베어링 그리고 둘을 연결하는 전체 프레임을 통해 닫혀야 합니다.

출력 토크를 만들기 위해 장력 차이를 추가하더라도 공통 pretension에 의한 구조 하중은 사라지지 않습니다.

\[T_R=T_0+\frac{\tau}{2r}\] \[T_L=T_0-\frac{\tau}{2r}\]

두 장력의 합은 여전히 다음과 같습니다.

\[T_R+T_L=2T_0\]

즉 유용한 토크는 장력의 차이에서 나오지만, 베어링과 프레임이 받는 주요 하중은 공통 pretension에서 만들어질 수 있습니다.

입력과 출력을 멀리 둘수록 구조 강성에 민감해집니다

이론적으로는 작은 입력 드럼과 큰 출력 풀리를 멀리 떨어뜨려 감속과 remote transmission을 동시에 구현할 수 있습니다.

하지만 장력이 자체적으로 상쇄되지 않는 배치에서는 케이블이 두 풀리를 계속 서로 끌어당깁니다. 입력과 출력 사이의 거리가 멀어질수록 이 힘을 전달하는 프레임과 링크도 길어집니다.

프레임이 장력에 의해 휘거나 풀리 축이 기울면 다음 조건이 변할 수 있습니다.

• 두 풀리 사이의 중심 거리
• 케이블 pretension
• 풀리로 진입하는 접선 방향
• 케이블 감김각
• fleet angle
• groove 측벽 접촉력
• 베어링 횡하중과 마찰
• 입력과 출력 사이의 위치 관계

케이블 장력이 구조를 변형하고, 구조 변형이 다시 케이블 장력과 방향을 바꾸는 결합이 생깁니다.

이 구조가 반드시 제어이론적인 의미에서 발산하는 불안정 시스템이라는 뜻은 아닙니다. 충분히 강한 프레임과 정확한 가이드를 사용하면 정상적으로 동작할 수 있습니다.

그러나 힘이 transmission 내부에서 자체적으로 상쇄되지 않기 때문에 구조 강성, 중심 거리와 축 정렬에 민감한 non-self-balanced transmission이 됩니다.

좋은 cable-driven mechanism은 단순히 큰 장력을 견디는 구조가 아닙니다.

공통 장력의 반력이 짧고 대칭적인 경로 안에서 닫히도록 만든 구조입니다.

고전적인 Capstan Drive는 마찰로 로프를 구동합니다

Capstan drive라는 이름은 원래 원통형 드럼에 감긴 로프와 표면 사이의 마찰을 이용해 큰 장력 차이를 지지하는 장치를 가리킵니다.

고전적인 traction capstan에서는 로프가 드럼에 반드시 고정될 필요가 없습니다. 한쪽에서 작은 장력을 유지하면서 capstan을 회전시키면, 감긴 구간의 마찰을 통해 반대쪽의 큰 장력을 제어하거나 이동시킬 수 있습니다.

미끄러지기 직전의 이상적인 장력비는 capstan equation 또는 Euler–Eytelwein equation으로 나타낼 수 있습니다.

\[\frac{T_{\mathrm{high}}}{T_{\mathrm{low}}} \le e^{\mu\phi}\]

여기서

• $T_{\mathrm{high}}$는 높은 장력 쪽
• $T_{\mathrm{low}}$는 낮은 장력 쪽
• $\mu$는 로프와 드럼 사이의 유효 마찰계수
• $\phi$는 총 감김각

입니다.

한 바퀴를 감으면 감김각은 $2\pi$ rad입니다. 여러 번 감을수록 $\phi$가 증가하므로, 낮은 마찰계수에서도 더 큰 장력 차이를 지지할 수 있습니다.

이 구조에서 하중을 전달하는 핵심은 케이블의 끝단 고정이 아니라 감긴 접촉면에 분포하는 마찰력입니다.

Stanford CS235의 cable transmission 강의에서도 벨트와 케이블, capstan, termination과 케이블 방향을 서로 분리된 설계 문제로 다룹니다.

로봇용 cable drive는 termination으로 운동학을 구속하는 경우가 많습니다

로봇에서 capstan drive라고 부르는 transmission 중 상당수는 고전적인 free-rope traction capstan과 조금 다르게 동작합니다.

케이블의 양끝 또는 적어도 한쪽 끝을 입력 드럼이나 출력 풀리에 고정하고, 드럼이 회전할 때 정해진 길이의 케이블을 감거나 풀어 입력과 출력의 상대 변위를 만듭니다.

이러한 구조는 순수한 traction capstan보다 terminated cable–pulley transmission 또는 cable drum transmission에 가깝습니다.

케이블이 입력과 출력 풀리에 고정되어 있고 미끄러지지 않는다면 전달 운동학은 풀리 반경과 케이블 길이 구속에 의해 결정됩니다.

\[r_m\theta_m=r_j\theta_j\]

이 경우 드럼이 케이블을 구동하는 원리는 단순히 표면 마찰로 케이블을 끌고 가는 것만은 아닙니다. 케이블 termination이 전체 길이 관계를 구속하므로, 입력 드럼이 회전하면 정해진 양의 케이블이 한쪽에서 감기고 반대쪽에서 풀려야 합니다.

Capler-Leg에서도 합성섬유 케이블의 양끝에 eye-splice termination을 만들고 이를 pin에 연결했습니다. 연구진은 cable termination을 케이블 소재와 풀리 설계와 함께 세 가지 핵심 설계 문제 중 하나로 다뤘습니다.

그렇다고 terminated cable drive에서 마찰이 필요 없다는 뜻은 아닙니다.

감긴 구간의 마찰은 다음 역할을 합니다.

• 케이블이 드럼 표면에서 미끄러지는 것을 막습니다.
• 장력을 여러 바퀴의 접촉 구간에 분산합니다.
• termination에 직접 집중되는 하중을 줄입니다.
• 케이블과 풀리 사이의 상대 운동을 줄입니다.
• 높은 장력 쪽과 낮은 장력 쪽의 장력 분포를 결정합니다.

즉 terminated cable drive에서는 termination과 wrap friction이 서로 다른 역할을 담당합니다.

• Termination: 케이블 전체 길이와 입력–출력 변위 관계를 구속합니다.
• Pulley radius: 감속비와 운동비를 결정합니다.
• Wrap friction: 케이블이 큰 하중에서도 미끄러지지 않고 그 운동 관계를 유지하도록 돕습니다.

따라서 다음 두 식은 서로 다른 질문에 답합니다.

\[N=\frac{r_j}{r_m}\]

은 입력이 회전할 때 출력이 얼마나 회전하는지를 설명합니다.

반면

\[\frac{T_{\mathrm{high}}}{T_{\mathrm{low}}} \le e^{\mu\phi}\]

은 감긴 접촉면이 어느 정도의 장력 차이를 미끄럼 없이 지지할 수 있는지를 설명합니다.

로봇 분야에서는 케이블이 드럼에 여러 번 감긴 transmission을 넓은 의미에서 capstan drive라고 부르기도 합니다. 하지만 실제 하중 전달 방식을 이해하려면 다음 세 구조를 구분하는 편이 좋습니다.

1. Traction capstan

   케이블이 capstan에 고정되지 않고, 감긴 접촉면의 마찰을 통해 장력 차이와 운동을 전달합니다.

2. Cable drum 또는 winch

   케이블 끝을 드럼에 고정하고, 케이블을 감거나 풀어 자유 길이를 변화시킵니다.

3. Terminated capstan transmission

   케이블을 입력과 출력 풀리에 고정하고 여러 번 감아, termination으로 운동학을 구속하면서 wrap friction으로 slip과 종단 하중을 줄입니다.

로봇 관절에서 흔히 볼 수 있는 cable–pulley transmission은 세 번째 구조에 가까운 경우가 많습니다.

고전적인 capstan은 마찰로 로프를 끌지만, 많은 로봇용 capstan transmission은 고정된 케이블을 감고 풀어 관절을 구동합니다.

케이블에는 termination이 있습니다

Open-ended cable은 양끝을 어딘가에 고정해야 합니다. 이를 termination이라고 합니다.

대표적인 방법은 다음과 같습니다.

• clamp
• crimp
• knot
• eye splice
• bonded termination
• pulley 또는 pin에 직접 고정하는 구조

Termination은 단순한 조립 디테일이 아닙니다. 케이블 전체의 장력을 작은 고정부를 통해 구조물로 전달하므로 국부적인 응력, 미끄럼과 마모가 집중되는 위치가 됩니다.

특히 고강도 합성섬유 케이블은 금속 부품 사이에 단순히 눌러 고정하면 반복 하중에서 느슨해지거나 빠질 수 있습니다.

Capler-Leg 연구에서는 Dyneema 케이블의 종단을 eye splice로 만들었습니다. 단일 splice는 반복적인 인장과 이완에서 요구되는 creep 저항을 만족하지 못해 여러 번 splice하는 방식을 사용했습니다. 연구진은 일반적인 knot termination은 장기 반복 하중에 충분히 견고하지 않았고, 낮은 마찰계수 때문에 단순 clamp도 크고 불안정해질 수 있다고 보고했습니다.

Termination은 케이블의 강도를 유지하는 문제이면서 동시에 메커니즘의 운동 범위를 결정하는 요소이기도 합니다.

Termination이 있으면 회전 범위가 유한해집니다

고전적인 traction capstan에서는 외부에서 로프를 계속 공급할 수 있으므로 capstan 자체의 회전 수가 반드시 제한되지는 않습니다.

반면 terminated cable drive에서는 드럼 위에 감거나 풀 수 있는 케이블 길이가 유한합니다.

풀리 반경이 $r$이고 회전각 변화가 $\Delta\theta$라면 감기거나 풀리는 케이블 길이는 다음과 같습니다.

\[\Delta l=r\Delta\theta\]

풀리 위에 사용할 수 있는 케이블 길이를 $l_{\mathrm{available}}$이라고 하면 가능한 회전 범위는 개념적으로 다음 조건을 만족해야 합니다.

\[r|\Delta\theta| \le l_{\mathrm{available}}\]

실제 회전 범위는 다음 조건에 의해 제한됩니다.

• 케이블 termination의 위치
• 사용할 수 있는 groove 길이
• 풀리의 축 방향 폭
• 케이블이 겹치지 않는 최소 간격
• 필요한 안전 여유
• 장력 유지가 가능한 winding 구간

Endless cable loop나 별도의 recirculating mechanism을 사용하면 연속 회전 구조를 만들 수도 있습니다. 그러나 로봇 관절에 사용하는 terminated multi-wrap cable drive는 대부분 유한한 이동 또는 회전 범위를 가집니다.

따라서 cable drive를 설계할 때는 필요한 torque ratio뿐 아니라 전체 관절 운동 범위에서 termination이 유효한 groove 구간 안에 남아 있는지도 확인해야 합니다.

여러 번 감으면 케이블은 옆으로 이동해야 합니다

작은 입력 드럼으로 큰 장력 차이를 전달하려면 충분한 감김각이 필요합니다. 그러나 케이블을 같은 원주 위치에 여러 번 감으면 각 turn이 서로 겹칩니다.

케이블이 겹치면 다음 문제가 생길 수 있습니다.

• 유효 감김 반경이 갑자기 변합니다.
• 케이블이 서로 눌리며 국부 손상이 발생합니다.
• 권선이 불규칙하게 이동합니다.
• 케이블이 이전 turn 위로 올라가며 순간적인 위치 오차가 생깁니다.
• 장력 변화에 따라 갑작스러운 slip이 발생할 수 있습니다.

이를 피하려면 각 turn이 풀리의 축 방향으로 조금씩 이동해야 합니다.

대표적인 방법은 풀리에 helical groove를 만드는 것입니다. 풀리가 회전할 때 케이블은 원주 방향으로 감기면서 동시에 축 방향으로 이동합니다.

Capler-Leg의 입력과 출력 풀리에도 두 케이블이 helix를 이루도록 groove가 가공되어 있으며, 무부하 상태에서 케이블 전체 길이가 유지되도록 설계되었습니다.

이때 케이블이 풀리로 진입하는 방향은 더 이상 풀리의 중앙 평면과 일치하지 않습니다.

축 방향 offset을 $\Delta z$, 풀리 사이의 자유 케이블 길이를 $L$이라고 단순화하면 fleet angle은 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

\[\alpha_f \approx \tan^{-1} \left( \frac{\Delta z}{L} \right)\]

Fleet angle이 생기면 케이블 장력에는 축 방향 성분이 추가됩니다.

\[F_{\mathrm{axial}} \approx T\sin\alpha_f\]

풀리 중앙 평면 안쪽의 성분은 다음과 같습니다.

\[F_{\mathrm{planar}} \approx T\cos\alpha_f\]

Fleet angle이 너무 크면 다음 문제가 나타날 수 있습니다.

• 케이블이 groove 측벽을 강하게 누릅니다.
• 마찰과 마모가 증가합니다.
• 인접 groove로 넘어가거나 케이블이 겹칠 수 있습니다.
• 풀리의 유효 감김 반경이 달라질 수 있습니다.
• 축과 베어링에 axial load가 발생합니다.
• 입력과 출력 groove의 phase가 맞지 않을 수 있습니다.

단일 평면에서 두 풀리를 연결할 때에도 케이블 장력은 큰 횡하중을 만듭니다. 여기에 여러 번의 권선을 위한 fleet angle이 추가되면 축 방향 하중까지 발생합니다.

따라서 multi-wrap capstan transmission은 더 이상 두 원과 직선 케이블로 완전히 설명되는 planar mechanism이 아닙니다.

입력 풀리의 회전각, 출력 풀리의 회전각, 케이블의 축 방향 위치, groove pitch, groove phase와 두 풀리 사이의 정렬을 함께 고려해야 하는 spatial winding mechanism이 됩니다.

수식에서는 한 줄짜리 감속 관계였던

\[r_m\theta_m=r_j\theta_j\]

가 실제 메커니즘에서는 3차원 권선과 장력 관리 문제로 바뀝니다.

케이블은 당기기만 합니다

케이블은 압축력을 전달할 수 없습니다. 따라서 케이블 장력에는 다음 제약이 있습니다.

\[T\ge0\]

제어기가 음의 장력을 명령한다고 해서 케이블이 반대 방향으로 밀어주는 것은 아닙니다. 필요한 장력이 0보다 작아지는 순간 케이블은 느슨해지고, 모터 운동이 출력축으로 즉시 전달되지 않는 slack 구간이 생깁니다.

하나의 관절을 양방향으로 능동 구동하려면 일반적으로 서로 반대 방향으로 토크를 만드는 두 케이블을 사용합니다. 이를 antagonistic cable pair라고 합니다.

두 케이블의 moment arm이 같은 값 $r$이라면 관절 토크는 다음과 같습니다.

\[\tau_j=r(T_1-T_2)\]

토크는 두 장력의 차이로 결정됩니다. 그러나 두 케이블 모두 항상 당겨진 상태를 유지하려면 공통 pretension이 필요합니다.

\[T_1=T_0+\frac{\tau_j}{2r}\] \[T_2=T_0-\frac{\tau_j}{2r}\]

이상적인 대칭 모델에서 두 케이블이 slack 상태에 들어가지 않으려면 다음 조건이 필요합니다.

\[T_0> \frac{|\tau_j|}{2r}\]

실제 설계에서는 가속, 진동, 케이블 탄성, 장력 오차와 동적 하중을 고려해 추가적인 margin을 둬야 합니다.

Pretension을 높이면 다음 장점이 있습니다.

• 케이블 slack을 방지합니다.
• 방향 전환 시 dead zone을 줄입니다.
• groove 접촉을 안정적으로 유지합니다.
• 전달계의 등가 강성을 높일 수 있습니다.

하지만 pretension은 공짜가 아닙니다.

• 케이블의 평균 인장 응력이 증가합니다.
• 풀리 축과 베어링의 내부 하중이 증가합니다.
• 프레임에 지속적인 하중이 작용합니다.
• 케이블의 creep와 반복 피로가 빨라질 수 있습니다.
• 마찰과 에너지 손실이 증가할 수 있습니다.
• 조립 후 장력을 측정하고 다시 조절해야 합니다.

즉 antagonistic cable drive는 양방향 구동과 작은 backlash를 얻는 대신, 항상 존재하는 내부 장력이라는 비용을 지불합니다.

하나의 tendon과 return spring을 사용할 수도 있습니다

모든 관절이 양방향 능동 토크를 필요로 하는 것은 아닙니다.

한 방향은 모터가 tendon을 당기고, 반대 방향은 spring이 관절을 되돌리는 구조를 사용할 수 있습니다.

단순화된 관절 토크는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[\tau_j=rT-\tau_s(q)\]

선형 회전 스프링을 가정하면 다음과 같습니다.

\[\tau_j=rT-k_s(q-q_0)\]

여기서 $q_0$는 spring의 평형 위치입니다.

Single tendon과 return spring을 사용하는 구조의 장점은 다음과 같습니다.

• 모터와 케이블 수를 줄일 수 있습니다.
• 작은 관절 내부의 routing이 단순해집니다.
• 조립과 tensioning이 쉬워집니다.
• 케이블이 풀렸을 때 수동 복귀 방향을 정의할 수 있습니다.
• spring에 에너지를 저장하고 passive compliance를 만들 수 있습니다.

반면 다음 한계가 있습니다.

• 양방향 토크 성능이 대칭적이지 않습니다.
• 모터는 구동 중 return spring의 토크도 함께 이겨야 합니다.
• 관절각에 따라 사용 가능한 출력 토크가 달라집니다.
• 두 케이블의 co-contraction을 이용한 능동 강성 조절은 어렵습니다.
• spring의 비선형성과 히스테리시스가 출력 특성에 포함됩니다.

따라서 한 방향 운동이 주요 작업이고 반대 방향은 복귀에 가까운 로봇 손가락이나 소형 메커니즘에서는 single tendon과 return spring이 합리적인 선택이 될 수 있습니다.

반대로 양방향으로 큰 토크를 정밀하게 제어해야 한다면 antagonistic pair가 더 적합할 수 있습니다.

투명한 부품이 단순한 시스템을 의미하지는 않습니다

케이블 자체는 가볍고 단순한 부품입니다. 복잡한 기어 치형도 없고, 적절히 설계하면 높은 torque transparency와 작은 backlash를 얻을 수 있습니다.

그러나 케이블을 transmission으로 사용하면 다음 조건을 모두 설계해야 합니다.

• 케이블의 양끝을 고정하는 termination
• 제한된 groove 길이와 관절 회전 범위
• 감속비를 결정하는 풀리 반경
• slip을 방지하는 감김각
• multi-wrap winding을 위한 helical groove
• fleet angle과 축 방향 하중
• 장력이 구조물에 만드는 횡하중
• 공통 pretension의 반력을 닫는 load path
• 양방향 구동을 위한 antagonistic routing
• slack 방지를 위한 pretension
• 장력 조정과 유지보수 방법

즉 케이블은 기계적으로 투명한 전달 요소가 될 수 있지만, 케이블을 사용하는 전체 메커니즘이 자동으로 단순하거나 안정적인 것은 아닙니다.

케이블 전달계의 설계자는 다음 식만 계산해서는 안 됩니다.

\[\tau=rT\]

장력 벡터가 어느 방향으로 구조물을 당기는지도 함께 봐야 합니다.

\[\mathbf F=\sum_iT_i\hat{\mathbf t}_i\]

좋은 cable-driven mechanism은 단순히 큰 장력을 견디는 구조가 아닙니다.

필요한 장력의 반력이 짧고 대칭적인 경로 안에서 닫히도록 만든 구조입니다.

케이블은 토크를 멀리 전달할 수 있습니다. 하지만 그 토크를 만드는 힘의 경로도 함께 멀어집니다.

따라서 cable-driven mechanism의 핵심 질문은 다음과 같습니다.

케이블로 힘을 전달할 수 있는가가 아니라, 케이블이 만드는 장력의 반력을 어디에서 닫을 것인가?

지금까지는 케이블이 충분한 강도를 가지며 반복적으로 감기고 풀려도 손상되지 않는다고 가정했습니다. 그러나 실제 케이블은 풀리를 지날 때마다 굽혀지고 다시 펴집니다.

다음 글에서는 케이블의 정적 인장강도보다 반복 굽힘 수명을 먼저 제한하는 CBOS(Cyclic Bend Over Sheave)와 $D/d$ ratio를 살펴보겠습니다.

References

[1] J. Hwangbo, V. Tsounis, H. Kolvenbach, and M. Hutter, “Cable-Driven Actuation for Highly Dynamic Robotic Systems,” arXiv:1806.10632, 2018.

[2] Stanford CS235, “Applied Robot Design, Lecture 7—Introduction to Cable Transmissions.”