[로봇 하드웨어 07] - 액추에이터 (8): 발열
토크 상수와 저항의 온도 의존성, 효율 지도와 QDD의 연속 토크 한계
Physical AI 관점에서 본 다관절 로봇 하드웨어 시리즈
차가운 로봇으로 30초 동안 잘 되던 동작이 10분 뒤에는 흔들립니다. 같은 policy, 같은 관절각, 같은 토크 명령인데 발이 밀리거나 자세가 처지고 current limit에 더 자주 닿습니다. 로그에서 온도를 보지 않으면 controller가 갑자기 나빠진 것처럼 보입니다.
하지만 열이 오른 액추에이터는 처음과 같은 plant가 아닙니다. 구리 권선의 저항이 커지고 영구자석의 자속이 변하며, inverter와 bearing의 손실도 움직입니다. 전류 제어기가 이를 일부 가려주다가 DC bus 전압과 thermal limit에 닿는 순간, torque command와 실제 출력의 관계가 빠르게 무너집니다.
$K_t$는 모터에 새겨진 한 개의 숫자가 아닙니다
모터 데이터시트에는 torque constant $K_t$가 $\mathrm{Nm/A}$로 적혀 있습니다. 이상적인 SPMSM에서는 $K_t$가 자석 자속과 극쌍 수로 결정되고,
\[\tau_e=K_t i_q\]로 쓸 수 있습니다. 이 식은 액추에이터를 설계할 때 매우 유용하지만 $K_t$가 모든 조건에서 일정하다는 뜻은 아닙니다.
- 자석 온도가 오르면 remanence와 flux linkage가 달라집니다.
- 큰 q축 전류와 d축 전류에서는 철심 포화와 cross-saturation이 생깁니다.
- 생산 편차, air-gap과 자석 조립 오차가 모터별 $K_t$를 바꿉니다.
- 엔코더 전기각이 틀리면 측정한 q축 전류 중 일부가 실제 d축으로 들어갑니다.
- 데이터시트의 current 정의가 phase peak인지 RMS인지에 따라 숫자 해석이 달라집니다.
따라서 실제 torque map은 한 개의 상수보다 다음 함수에 가깝습니다.
\[\tau_e=f(i_d,i_q,\theta_e,T_m)\]$T_m$은 rotor/magnet temperature입니다. 여기서 권선 온도 $T_w$와 자석 온도를 구분하는 것이 중요합니다. 둘은 열저항과 열용량으로 연결돼 있지만 같은 시점에 같은 온도가 아닙니다. stator thermistor 하나로 rotor magnet의 순간 온도를 그대로 안다고 가정하면 빠른 duty cycle에서 오차가 생깁니다.[1,2]
온도가 오르면 저항이 먼저 움직입니다
구리 권선 저항은 온도에 따라 대략 다음처럼 증가합니다.
\[R(T_w)=R_0\left[1+\alpha_{Cu}(T_w-T_0)\right]\]구리의 온도계수는 보통 $\alpha_{Cu}\approx0.0039/\mathrm{K}$ 근처입니다.[1] 권선이 25°C에서 75°C로 오르면 단순 근사에서 저항은 약 19.5% 증가합니다. 3상 copper loss는 사용하는 peak/RMS convention에 맞춰 쓰면 본질적으로 $I^2R$입니다.
\[P_{Cu}\propto I_{\mathrm{rms}}^2R(T_w)\]여기서 자주 생기는 오해가 있습니다. 저항이 올랐다고 current controller가 즉시 같은 비율로 토크를 잃는 것은 아닙니다. 충분한 bus voltage가 있으면 전류 루프가 더 큰 전압을 사용해 같은 전류를 유지할 수 있습니다. 대신 손실이 커지고 전압 여유가 줄어듭니다.
모터의 정상상태 전압을 단순화하면,
\[v_q\approx R i_q+\omega_e\lambda_m\]입니다. 온도가 올라 $R i_q$ 항이 커지면 같은 전류를 유지하기 위해 더 높은 전압이 필요합니다. 속도가 높아 back-EMF 항도 큰 상태라면 inverter가 낼 수 있는 전압 한계에 더 일찍 닿습니다. 그때부터 current loop는 기준 전류를 따라가지 못하고 실제 토크가 내려갑니다.
작은 온도 변화가 만드는 양의 피드백
제조사 예시 자료에서는 neodymium-magnet motor가 50°C 더 뜨거워질 때 torque constant가 약 5% 작아지고 저항은 구리 온도계수에 따라 증가하는 경우를 보여줍니다.[1] 이 수치는 모든 모터에 그대로 적용할 법칙은 아니지만, 두 효과가 함께 작동하는 방향을 볼 수 있습니다.
25°C에서 75°C로 오른 예시를 단순 계산해 보겠습니다.
\[\frac{R_{hot}}{R_{cold}}\approx1.195,\qquad \frac{K_{t,hot}}{K_{t,cold}}\approx0.95\]같은 토크를 유지하려면 전류는 약 $1/0.95$배 필요합니다. 그러면 copper loss 비는
\[\frac{P_{Cu,hot}}{P_{Cu,cold}} \approx \frac{1.195}{0.95^2} \approx1.32\]가 됩니다. 즉 이 예시 조건에서는 같은 토크를 유지하는 copper loss가 약 32% 커집니다. 온도가 올라 저항과 $K_t$가 불리해지고, 같은 토크를 위해 더 큰 손실을 내며, 다시 더 뜨거워지는 양의 피드백입니다. 실제 값은 자석 등급, 권선, 냉각, current convention과 포화에 따라 달라지므로 반드시 해당 모터의 hot test로 확인해야 합니다.
모터는 정말 고속일수록 효율이 좋은가
효율은 기계 출력과 DC 입력의 비입니다.
\[\eta=\frac{\tau\omega}{V_{dc}I_{dc}}\]stall에서는 $\omega=0$이므로 관절을 큰 힘으로 버티고 있어도 기계 출력은 0입니다. 하지만 전류는 흐르고 copper loss는 계속 납니다. 그래서 정적 squat, 무거운 팔을 수평으로 들기, 지면을 오래 미는 동작은 열적으로 매우 비쌉니다.
속도가 조금 올라가면 같은 토크에서도 기계 출력 $\tau\omega$가 생기므로 효율이 좋아지는 영역이 있습니다. 이것이 “모터는 고속에서 효율이 좋다”는 말의 배경입니다. 그러나 끝까지 단조롭게 좋아지는 것은 아닙니다. 높은 속도에서는 iron loss, eddy-current loss, windage, bearing loss와 inverter switching loss가 증가하고, back-EMF 때문에 voltage limit에 접근합니다. 효율 peak는 보통 torque–speed 평면의 내부에 있습니다.[1]
로봇의 duty cycle은 팬이나 펌프와 다릅니다. 일정 방향과 속도로 오래 돌기보다 양방향으로 가속하고, 멈춰 토크를 유지하고, 충돌 에너지를 받은 뒤 다시 반대로 가속합니다. 방향을 바꾸는 순간마다 속도는 0을 지나지만 관성·중력·접촉력을 버티기 위한 전류는 0이 아닐 수 있습니다. 이 구간에서는 효율이 구조적으로 낮습니다.
제동 에너지는 회생할 수 있지만 “음의 토크면 손실이 없다”는 뜻도 아닙니다. bus와 battery가 에너지를 받아들일 수 있어야 하고, 모터 권선과 inverter에는 여전히 conduction 및 switching loss가 있습니다. battery가 full이거나 충전 전력 제한에 닿으면 brake resistor 또는 다른 에너지 경로가 필요합니다.
낮은 감속비가 열에 불리한 이유와, 그래도 QDD를 쓰는 이유
같은 모터와 이상적인 감속기를 가정하면 관절 토크는
\[\tau_j\approx\eta_g N K_t i_q\]이므로 필요한 전류는
\[i_q\approx\frac{\tau_j}{\eta_g N K_t}\]입니다. 같은 관절 토크에서 감속비 $N$을 낮추면 모터가 더 큰 토크와 전류를 직접 만들어야 합니다. 같은 모터라면 copper loss는 대략
\[P_{Cu}\propto \frac{\tau_j^2R} {\eta_g^2N^2K_t^2}\]처럼 불리해집니다. 관절 속도가 같을 때 모터 속도 $\omega_m\approx N\omega_j$도 낮아져 효율이 좋은 operating region을 활용하기 어려울 수 있습니다.
반대로 높은 감속비는 motor reflected inertia를
\[J_{ref}=N^2J_m\]로 키우고, seal·bearing·gear mesh의 마찰과 hysteresis를 관절에 더 강하게 보이게 합니다. 외력 투명성과 backdrivability, contact bandwidth가 나빠질 수 있습니다.[3,4] QDD는 바로 이 distortion을 줄이기 위해 감속비의 torque multiplication 일부를 포기합니다.
따라서 “QDD는 효율이 나쁘다” 또는 “낮은 감속비가 항상 발열이 심하다”로 끝내면 절반만 맞습니다. 같은 크기와 같은 모터로 비교하면 열적 leverage가 불리하지만, 실제 QDD는 큰 air-gap radius, 높은 copper fill, 짧은 end turn, housing으로의 직접 열전달, oil/air cooling과 회생 가능한 inverter를 함께 최적화합니다. MIT Cheetah 계열의 설계도 낮은 관성, torque density, thermal behavior를 motor와 transmission 수준에서 함께 다뤘습니다.[3–5,7]
QDD가 얻는 것은 무료 효율이 아니라 외력 투명성, 낮은 반사 관성과 제어 가능한 접촉입니다. 잃는 것은 기어가 제공하던 torque multiplication과 정적 하중의 열적 여유입니다. 어떤 쪽이 중요한지는 로봇의 task와 duty cycle로 결정해야 합니다. exoskeleton처럼 사람과의 상호작용이 중요한 시스템에서도 QDD를 택하지만, peak torque만이 아니라 continuous thermal envelope가 핵심 설계 변수가 됩니다.[6]
peak torque보다 RMS current와 열경로를 봐야 합니다
가장 단순한 lumped thermal model은 다음과 같습니다.
\[C_{th}\frac{dT}{dt} =P_{loss} -\frac{T-T_{amb}}{R_{th}}\]$C_{th}$는 열용량이라 짧은 peak를 버티게 하고, $R_{th}$는 주변으로 열을 버리는 능력이라 장시간 온도 상승을 결정합니다. 같은 peak torque를 가진 두 액추에이터도 motor mass, winding-to-stator 접촉, potting, housing 면적, joint 내부 airflow에 따라 continuous torque가 크게 달라집니다.
그래서 actuator를 비교할 때는 다음을 함께 봐야 합니다.
- cold/hot $K_t$와 phase resistance
- peak current의 허용 시간과 초기 온도
- winding, stator, housing과 magnet의 열 시정수
- 정해진 ambient와 냉각 조건에서의 continuous torque
- 실제 trajectory의 RMS current와 speed–torque histogram
- inverter와 battery의 회생·전압·온도 제한
짧은 벤치 테스트에서 peak torque를 한 번 찍는 것은 쉽습니다. 로봇이 30분 동안 같은 policy를 수행한 뒤에도 torque tracking bandwidth와 contact behavior가 유지되는지를 확인하는 편이 훨씬 어렵고 중요합니다.
열은 policy가 관측하지 못하는 느린 상태입니다
시뮬레이터의 actuator는 보통 episode 시작과 끝에서 같은 $K_t$, 같은 resistance, 같은 torque limit을 가집니다. 실제 로봇에서는 이전 episode의 동작이 다음 episode의 plant를 바꿉니다.
\[\tau_{actual} =f\!\left( u,\omega,T_w,T_m,V_{bus} \right)\]온도를 observation에 넣지 않으면 policy는 같은 상태·행동에 다른 가속도가 나오는 이유를 알 수 없습니다. current limit이나 thermal derating이 활성화되면 변화는 더 불연속적입니다. 특정 joint만 먼저 뜨거워지면 좌우 대칭도 깨집니다.
실용적인 대응은 단순합니다.
- winding sensor와 thermal observer로 보이지 않는 rotor temperature를 추정합니다.
- temperature와 bus voltage에 따라 torque limit을 연속적으로 derating합니다.
- 학습과 시뮬레이션에서 $R$, $K_t$, current/voltage saturation, thermal state를 함께 변화시킵니다.
- trajectory를 peak torque가 아니라 RMS current와 회생 가능성까지 포함해 최적화합니다.
- 정적 하중을 motor current로만 버티지 않도록 spring, counterbalance, brake와 기구학적 자세를 활용합니다.
열은 제어 주기보다 느리기 때문에 당장 보이지 않습니다. 그래서 더 위험합니다. 토크 리플은 oscilloscope에 바로 나타나고 백래시는 손으로 방향을 바꾸면 느껴지지만, thermal drift는 처음 몇 분의 성공적인 demo 뒤에 숨어 있습니다.
액추에이터의 진짜 사양은 차가운 상태의 peak torque가 아닙니다. 주어진 환경과 duty cycle에서 열평형에 도달한 뒤에도 policy가 믿을 수 있는 토크를 얼마나 반복해서 만드는가입니다.
References
[1] maxon motor ag, “maxon Motor Data and Operating Ranges.” Manufacturer PDF
[2] Y. Xiao and A. Griffo, “PWM-Based Flux Linkage and Rotor Temperature Estimations for Permanent Magnet Synchronous Machines,” IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 35, no. 6, pp. 6061–6069, 2020. doi:10.1109/TPEL.2019.2948578, accepted manuscript
[3] S. Seok et al., “Design Principles for Energy-Efficient Legged Locomotion and Implementation on the MIT Cheetah Robot,” IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, vol. 20, no. 3, pp. 1117–1129, 2015. doi:10.1109/TMECH.2014.2339013, MIT Open Access
[4] P. M. Wensing, A. Wang, S. Seok, D. Otten, J. Lang, and S. Kim, “Proprioceptive Actuator Design in the MIT Cheetah: Impact Mitigation and High-Bandwidth Physical Interaction for Dynamic Legged Robots,” IEEE Transactions on Robotics, vol. 33, no. 3, pp. 509–522, 2017. doi:10.1109/TRO.2016.2640183, MIT manuscript
[5] B. Katz, J. Di Carlo, and S. Kim, “Mini Cheetah: A Platform for Pushing the Limits of Dynamic Quadruped Control,” IEEE International Conference on Robotics and Automation, pp. 6295–6301, 2019. doi:10.1109/ICRA.2019.8793865
[6] S. Yu et al., “Quasi-Direct Drive Actuation for a Lightweight Hip Exoskeleton With High Backdrivability and High Bandwidth,” IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, vol. 25, no. 4, pp. 1794–1802, 2020. doi:10.1109/TMECH.2020.2995134, arXiv
[7] B. Katz, “A Low Cost Modular Actuator for Dynamic Robots,” M.S. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 2018. MIT DSpace